設(shè){X_n}是獨立同分布隨機變量序列，期望為μ。根據(jù)大數(shù)法則，對于任意正數(shù)ε和任意整數(shù)N，都有：```P(|X?_N - μ| > ε) → 0 (N → ∞)```其中X?_N表示樣本平均值，即X?_N = (X_1 + X_2 + ... + X_N) / N。
大數(shù)法則的直觀解釋是，在一個大量重復(fù)的隨機過程中，由于隨機偏差在一定程度上相互抵消，因此實際結(jié)果往往會接近理論預(yù)期。例如，拋擲一枚公平硬幣很多次，正面出現(xiàn)的次數(shù)近似為總次數(shù)的一半。
大數(shù)法則廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域，例如：- 統(tǒng)計推斷：樣本平均值是總體期望值的無偏估計。- 風(fēng)險管理：保險公司根據(jù)大數(shù)法則對未來索賠進行預(yù)測。- 質(zhì)量控制：生產(chǎn)過程中，通過抽樣檢測來推斷總體產(chǎn)品的質(zhì)量。
大數(shù)法則的局限性主要在于：- 獨立性假設(shè)：大數(shù)法則僅適用于獨立同分布的隨機變量。- 無限樣本：大數(shù)法則要求樣本量趨近于無窮大，在實際應(yīng)用中往往無法實現(xiàn)。
大數(shù)法則和中心極限定理是概率論中的兩個重要定理。大數(shù)法則說明了樣本平均值在大量重復(fù)試驗下趨近于總體期望值的規(guī)律，而中心極限定理則描述了樣本平均值的分布在一定條件下趨近于正態(tài)分布的規(guī)律。
大數(shù)法則在賭博中并不能保證贏錢。由于賭場游戲通常是有利可圖的，這意味著賭場長期來看會贏錢。盡管如此，大數(shù)法則可以幫助賭徒理解長期結(jié)果的概率，并避免過度投注或追逐輸?shù)舻腻X。
什么是大數(shù)法則？又稱“大數(shù)定律”或“平均法則”。人們在長期的實踐中發(fā)現(xiàn)，在隨機現(xiàn)象的大量重復(fù)中往往出現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律，即大數(shù)法則。
此法則的意義是：風(fēng)險單位數(shù)量愈多，實際損失的結(jié)果會愈接近從無限單位數(shù)量得出的預(yù)期損失可能的結(jié)果。據(jù)此，保險人就可以比較精確的預(yù)測危險，合理的厘定保險費率，使在保險期限內(nèi)收取的保險費和損失賠償及其它費用開支相平衡。
大數(shù)法則是近代保險業(yè)賴以建立的數(shù)理基礎(chǔ)。保險公司正是利用在個別情形下存在的不確定性將在大數(shù)中消失的這種規(guī)則性，來分析承保標(biāo)的發(fā)生損失的相對穩(wěn)定性。
按照大數(shù)法則，保險公司承保的每類標(biāo)的數(shù)目必須足夠大，否則，缺少一定的數(shù)量基礎(chǔ)，就不能產(chǎn)生所需要的數(shù)量規(guī)律。但是，任何一家保險公司都有它的局限性，即承保的具有同一風(fēng)險性質(zhì)的單位是有限的，這就需要通過再保險來擴大風(fēng)險單位及風(fēng)險分散面。